CAP. 2 OPERAZIONI SUGLI EVENTI

 2.1 - Probabilità dell'evento opposto

Dato un evento A, definiamo ~A (si legga non A) l'evento opposto o contrario o negazione di A. L'evento ~A si verifica tutte le volte in cui non si verifica l'evento A. In pratica, o si verifica l'evento A oppure si verifica l'evento ~A. Ad esempio, se A è "Domani pioverà", allora ~A è "Domani non pioverà". Può sembrare una banalità, ma capita a taluni di commettere qualche errore. Ad esempio, se si chiede il contrario di "Vincere sempre", si può avere come risposta "Non vincere mai.", mentre la riposta corretta è "perdere almeno una volta". Il contrario di "Tutti mentono" non è "Nessuno mente", ma "Qualcuno dice la verità". B.Croce diceva "Non possiamo non dirci cristiani", forse perché non voleva dire espressamente "Siamo tutti cristiani".
In ogni caso, dato che certamente uno dei due si verificherà, se la probabilità di A è p, allora la quella di ~A sarà:

p(~A) = 1- p.

Esercizio 2.1 In un nido di piccioni ci sono due uova. Trova la probabilità che nasca almeno un maschio.
Tal evento è l'opposto di quello in cui si hanno due femmine. Quest'ultimo evento ha probabilità 1/4 (vedi l'esempio delle due monete nell'esercizio 1.1). Dunque la probabilità di avere almeno un maschio sarà 1-1/4 = 3/4.
Esercizio 2.2 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che il 6 non compaia su nessuno dei due dadi.
Anche quest'evento può considerarsi l'opposto di quello dell'esercizio 1.4 in cui abbiamo trovato che la probabilità di avere almeno un sei era 11/36. L'evento opposto (non avere nessun sei) ha dunque probabilità 1- 11/36 = 25/36.
Esercizio 2.3 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che le due facce presentino numeri diversi tra loro.
Questo caso si può considerare come opposto dell'evento "Due facce uguali" che si presenta 6 volte sui 36 casi possibili (si osservi lo spazio campione descritto nella figura dell'esercizio 1.4), con probabilità 1/6. L'evento opposto avrà dunque probabilità (1-1/6) = 5/6.
Esercizio 2.4 Antonio e Bruno decidono che il conto del Bar sarà pagato da colui che pesca la carta più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13 carte di uno stesso seme. Antonio pesca un 5. Che probabilità ha ora Bruno di non pagare il conto?
Le carte inferiori al 5 sono 4 delle 12 rimaste. Bruno ha 1/3 di probabilità di pagare il conto. La probabilità di non pagare sarà: (1-1/3) = 2/3.

In tutti gli esercizi precedenti era ovviamente possibile calcolare direttamente la probabilità dell'evento assegnato, ma avremmo dovuto esaminare un più alto numero di casi favorevoli all'interno dei rispettivi spazi campione. In genere, è preferibile considerare la probabilità dell'evento opposto quando questa presenta minori difficoltà oppure quando si conosca già la probabilità di un certo evento, opposto a quello che si vuole calcolare. Basterà poi calcolare il complemento ad 1 del risultato ottenuto.