2.2 Eventi compatibili o incompatibili

Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro. Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e quindi rosso e pari è un evento possibile. Sono incompatibili invece gli eventi in cui il verificarsi di uno dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel lancio di due dadi considerare l'evento "escono due facce uguali" e l'evento "la somma è dispari". Gli eventi incompatibili non vanno confusi con quelli opposti. In questo caso deve verificarsi necessariamente l'uno o l'altro dei due eventi, mentre per gli eventi incompatibili può darsi che non si verifichi né l'uno né l'altro, come ad esempio "nero e dispari" oppure "pari, con due facce diverse" nei due esempi precedenti.
Se si esamina lo spazio campione, gli eventi compatibili ed incompatibili costituiscono rispettivamente due insiemi congiunti e due disgiunti.
Nella teoria degli insiemi si è già visto che la cardinalità dell'unione di due insiemi disgiunti è data dalla somma delle cardinalità, mentre nel caso degli insiemi congiunti, dalla somma delle due cardinalità va tolta la cardinalità dell'intersezione.
La stessa cosa si verifica nel calcolo della probabilità totale di due eventi A e B, quando si consideri l'evento composto "A Ú B" (si legga "A oppure B"). Se si tratta di due eventi incompatibili si sommeranno le probabilità dei due eventi (principio di addizione):

p(A Ú B) = p(A) + p(B)       (1)

Se si tratta di due eventi compatibili si dovrà, togliere la probabilità dell'evento composto "A Ù B" in cui si verificano entrambi gli eventi (somma logica):
p(A Ú B) = p(A) + p(B) - p(A Ù B)       (2)

in cui p(A Ù B) (si legga "probabilità di A e B") è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi. A ben guardare, la (1) si può considerare come un caso particolare della (2), in cui l'evento "A Ù B" ha probabilità nulla, cioè in cui sia impossibile che i due eventi si verifichino contemporaneamente, com'è appunto il caso di due eventi incompatibili.
A questo punto è necessario definire la probabilità dell'evento composto "A Ù B", cioè la probabilità che si verifichino contemporaneamente gli eventi A e B.
Immaginiamo di avere due scatole e di aver messo in entrambe 5 palline, 3 bianche e 2 nere. Estraiamo ora una biglia a caso da ciascuna scatola.
Lo spazio campione può essere rappresentato da una tabella, le cui righe rappresentano la biglia estratta nella prima scatola e le colonne quella estratta nella seconda. Le probabilità di estrarre una singola biglia bianca o una nera sono rispettivamente 3/5 e 2/5 in entrambe le urne Nella tabella sono indicate le 25 possibili coppie di palline estratte. Si hanno i seguenti quattro eventi:
  • BB (bianca la prima e bianca la seconda) con 9 casi (p=9/25)
  • BN (bianca la prima e nera la seconda) con 6 casi (p=6/25)
  • NB (nera la prima e bianca la seconda) con 6 casi (p=6/25)
  • NN (nera la prima e nera la seconda) con 4 casi (p=4/25)

Consideriamo le probabilità dei quattro eventi. E' facile verificare che:
  • p(BB) = (3/5)×( 3/5) = 9/25;
  • p(BN) = (3/5)×( 2/5)= 6/25;
  • p(NB) = (2/5)×( 3/5) =6/25;
  • p(NN) = (2/5)×( 2/5) = 4/25
Come si vede, le probabilità delle varie coppie di eventi, in tutti e quattro gli esempi, si possono calcolare moltiplicando quelle dei rispettivi singoli eventi. Si tratta di una situazione particolare che si verifica solo se i due eventi A e B sono fra loro indipendenti, cioè se il verificarsi o meno del primo evento non modifica in alcun modo la probabilità che si verifichi o meno il secondo.
Def.: quando due o più eventi sono tali che la probabilità che si verifichino tutti insieme è data dal prodotto delle rispettive probabilità, gli eventi si definiscono fra loro indipendenti. Da questa definizione deriva la formula:

p(AÙB) = p(A)×p(B)      (3)
eventi indipendenti

L'indipendenza dei due eventi, nell'esempio delle due urne distinte, è del tutto evidente, poiché l'estrazione di una biglia, bianca o nera che sia dalla prima urna, non influisce in alcun modo sulla biglia che sarà estratta dalla seconda urna. La situazione sarebbe del tutto analoga nel caso che, in mancanza di due urne, si procedesse a fare due estrazioni successive dalla stessa urna, rimettendo però nell'urna la biglia estratta la prima volta e rimescolando con cura le biglie (estrazione con reimbussolamento).