4 - Distribuzione delle frequenze, mediana e media.   Dai dati ordinati, vediamo che, le misure estreme sono piuttosto rare, mentre tendono a diventare sempre più frequenti quelle che si trovano in posizione più "centrale". Proviamo allora a chiederci: qual è la lunghezza della 213a foglia (la più centrale di tutte). Anche qui il foglio elettronico ci fa risparmiare tempo e fatica. Basta scorrere l'indice delle righe per arrivare rapidamente alla riga 213, cui corrisponde il valore 54. È lo stesso valore della moda, vista in precedenza. Tuttavia il significato del termine centrale di una distribuzione è diverso: ad esso viene dato il nome di mediana e costituisce il termine che divide esattamente in due la popolazione: metà con valori uguali o inferiori alla mediana e l'altra metà con valori uguali o superiori. Capita spesso che media e mediana coincidano, se la distribuzione delle frequenze segue un modello, che gli statistici definiscono "normale", come vedremo meglio in seguito. Chiunque abbia letto sui giornali o visto nei notiziari televisivi qualche statistica ha spesso sentito parlare di media, o di valore medio. Cos'è esattamente una media? Occorre dire che in matematica esistono vari tipi di media, ma quella di cui si parla è di solito quella aritmetica, data dalla somma di tutti i valori, divisa per il numero dei termini. Il foglio elettronico ci è di grande aiuto: non sarebbe stato facile sommare 426 numeri. Il nostro foglio ci da immediatamente la somma 23.212, che divisa per 426, di fornisce il valore cercato: 54,488...(va subito detto che il foglio elettronico dispone di una funzione apposita per il calcolo della media, ma qui volevamo evidenziare il procedimento di calcolo). Dunque la lunghezza media di una foglia è circa 54,5 mm. È da notare che nessuna foglia ha tale lunghezza e ciò non dipende solo dal fatto che i nostri ragazzi disponevano di un righello con precisione fino al millimetro. Anche se avessero usato uno strumento elettronico in grado di approssimare fino ai decimi o centesimi di millimetro, non è detto che avremmo trovato una foglia lunga esattamente quanto la media. Tale valore è quindi un valore astratto, ma che ha un'importante proprietà: se calcoliamo lo scarto tra i singoli valori e la media, vediamo che la somma degli scarti positivi è uguale alla somma di quelli negativi. Togliendo ai ricchi e donando ai poveri, secondo un principio evangelico, tutti disporrebbero di una stessa somma: la media. La media è più sensibile di moda e mediana rispetto al variare di singoli dati, anche di uno solo di essi. Tale effetto tende ad annullarsi con l'aumentare dei dati raccolti. Facciamo un esempio: calcoliamo moda, mediana e media dei seguenti 9 termini: 2, 2, 5, 5, 5, 5, 5, 8, 11. La moda e la mediana valgono entrambe 5. La media è 5,333. Modificando uno dei termini, ad esempio sostituendo il numero 11 con il numero 9, media e mediana valgono sempre 5, mentre la media diventa 5,111. Come abbiamo detto, la sensibilità della media al variare dei singoli termini tende a ridursi con l'aumentare del numero di termini sui quali viene calcolata. Nella nostra popolazione di foglie, sostituendo ad esempio l'ultimo termine 74 con il numero 72, la media sarebbe stata 54,483... con una differenza di meno di 5 millesimi di millimetro rispetto al valore precedente. Probabilmente non avremmo riscontrato alcuna differenza, se la nostra popolazione fosse stata costituita da qualche decina di migliaia di termini, come avviene di solito nelle ricerche statistiche. Tale osservazione contiene in sé un concetto molto importante, che costituirà la base della cosiddetta Legge dei Grandi Numeri, molto importante nella statistica, di cui parleremo in seguito.