3.1 Alberi regolari e irregolari.

Quando il problema presenta una serie di ipotesi, ciascuna delle quali produce ulteriori ipotesi, come accade spesso nei problemi sulla probabilità (non a caso definita "Ars conjectandi" da Jakob Bernoulli), è utile ricorrere ai grafi ad albero, di cui abbiamo visto un esempio nell'esercizio 1.1.
Si possono usare due tipi di albero: regolari o irregolari, i cui rami possono essere semplici o con pesi.
Esercizio 3.1 : Costruire il grafo relativo al lancio di tre monete ed esaminare i vari eventi.
Implementando l'esempio visto al paragrafo 1.1 con il lancio di una terza moneta, si ottiene ancora un grafo regolare con rami semplici.

Il primo nodo produce i due rami T e C, da cui partono ulteriori coppie di rami. Per avere tutti i possibili casi del lancio di tre monete, si parte dalla radice (vertice superiore) e si percorre ciascun ramo fino alla base inferiore, leggendo le lettere che s'incontrano lungo il percorso. Ad esempio, il primo ramo dà luogo all'evento TTT. Seguendo tutti gli otto percorsi, possiamo avere lo spazio campione, costituito da: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC.

I rami del grafo hanno tutti lo stesso peso (in questo caso la probabilità), poiché i due eventi T e C sono equiprobabili. Per avere la probabilità di ciascun evento, basta calcolare il rapporto tra il numero di casi (rami terminali) favorevoli e il numero totale di casi, 8 in quest'esempio.
L'evento "escono tre teste" ha probabilità 1/8. Se volessimo "due teste, non importa in quale ordine", dovremmo considerare 3 casi favorevoli, e quindi p=3/8. L'evento "Esce almeno una testa" è l'evento opposto a quello "Escono tutte croci". Quest'ultimo ha probabilità p=1/8 e quindi la probabilità di avere almeno una testa è p=1-1/8=7/8.
Non sempre gli eventi sono equiprobabili.
Esercizio 3.2 Costruire il grafo relativo al lancio di puntine da disegno (vedi al § 1.2) e calcolare le probabilità dei vari eventi indicati in ciascun ramo terminale.
Abbiamo stimato che le probabilità dei due eventi "A : punta in su " e "B: punta in giù" sono rispettivamente all'incirca 0,6=3/5 e 0,4=2/5. E' come se su 5 puntine, 3 cadessero con la punta in su e 2 con la punta in giù.

Anziché usare un albero che produce 5 rami ad ogni nodo (3 per l'evento A e 2 per l'evento B), si può utilizzare un albero dicotomico, raggruppando da una parte i 3 rami favorevoli all'evento A e dall'altra i 2 rami favorevoli all'evento B. Per evidenziare graficamente le diverse probabilità usiamo per i rami dell'evento A uno "spessore" maggiore rispetto a quelli dell'evento B. Inoltre indichiamo vicino ad ogni ramo le probabilità relative all'evento indicato dal ramo stesso.

Si possono avere quattro eventi: AA AB BA BB. Per calcolare le probabilità di ciascun evento, non si può utilizzare il semplice rapporto tra il numero di rami favorevoli all'evento e il numero totale di rami, come nell'esercizio 3.1. La probabilità dei vari eventi si ottiene, in base alla formula (3) vista al § 2.2, moltiplicando le probabilità indicate lungo i rami che conducono all'evento considerato:

Esercizio 3.3 Lancio una moneta. Se esce testa vinco. Se esce croce allora lancio un dado ed ho le seguenti possibilità:
A: Se esce il 6 vinco
B: altrimenti perdo.

Analizziamo tutti i casi possibili indicando, per ciascuno di essi, la relativa probabilità. Il grafo è un albero irregolare pesato. I casi possibili sono T, CA, CB. Le rispettive probabilità sono: p(T) = 1/2 p(CA)= (1/2) × (1/6) = 1/12 p(CB) = (1/2) × (5/6) = 5/12

Nel primo e nel secondo caso vinco. Si tratta di due eventi incompatibili, perciò posso sommare le due probabilità 1/2 + 1/12 = 7/12. Avrei potuto trovare il complemento ad 1 della probabilità dell'evento opposto (CB), in cui perdo: 1-5/12 =7/12.

Esercizio 3.4 Un sacchetto nero contiene 2 biglie rosse e 5 nere. Ho scommesso di riuscire a prendere due biglie di colore diverso, con due pescate consecutive senza reimbussolamento. Dopo aver estratto la prima biglia, sbirciando attraverso la mano, non perfettamente chiusa, vedo che è rossa. Quale probabilità ho adesso di vincere la scommessa?
Sapere che la prima biglia è rossa potrebbe sembrare un dettaglio irrilevante. Se voglio avere due biglie di colore diverso è ovvio che una delle due dev'essere rossa. Tuttavia, senza tale informazione, dovrei considerare tutti e due i possibili casi favorevoli all'evento:

la prima è rossa e la seconda è nera: p(R)×p(N|R)= (2/7)×(5/6)= 5/21 la prima è nera e la seconda è rossa: p( N) × p(R|N) = (5/7) × (2/6) = 5/21 Essendo i due eventi incompatibili tra loro, la probabilità si ottiene, per il principio di addizione, sommando quella di ciascuno dei due eventi: p = 5/21 + 5/21 = 10/21.

Sapendo invece, che la prima biglia estratta è rossa, si dovrà eliminare l'intera parte destra del grafo. Lo spazio campione si riduce ai soli rami terminali di sinistra. Per avere due biglie di colore diverso basterà che la seconda biglia sia nera e tale probabilità vale 5/6, che è maggiore di 10/21.

Esercizio 3.5 Sto per procedere all'estrazione della prima biglia, dal sacchetto descritto nel problema precedente. L'estrazione di una biglia rossa è 2/7. Prima che si proceda all'estrazione, un bimbo allunga una mano, prende una biglia e scappa, senza che si riesca a vedere il colore della biglia rubata. Siamo certi che manca una sola biglia, poiché ognuna pesa 10 grammi e una bilancia indica esattamente 10 grammi in meno. Qual è ora la probabilità di estrarre una biglia rossa?
Occorre valutare le seguenti due possibilità:

1. il bimbo ha preso una biglia rossa
2. il bimbo ha preso una biglia nera

1. la probabilità che il bimbo abbia preso la biglia rossa, non avendo avuto possibilità di vedere il colore, è 2/7. A questo punto restano 6 biglie, di cui 1 rossa. La probabilità di estrarre la rossa è p=(2/7)×(1/6)=1/21
2. la probabilità che il bimbo abbia preso la biglia nera è 5/7. A questo punto restano 6 biglie, di cui 2 rosse. La probabilità di estrarre la rossa in questo secondo caso è p=(5/7)×(2/6)=5/21

Esercizio 3.6 Abbiamo ancora lo stesso sacchetto dell'esercizio precedente. Questa volta però il bimbo arriva con una pallina stretta nel pugno e la mette nel sacchetto insieme alle altre. Sappiamo che in casa vi sono solo biglie rosse o nere. La bilancia ci conferma che è stata aggiunta esattamente una biglia, ma non sappiamo di quale colore, salvo che dev'essere rossa o nera. Qual è ora la probabilità di estrarre una biglia rossa?
Forti dell'esperienza fatta nel problema precedente, siamo pronti a dire "E' la stessa di prima: 2/7!"
Questa volta, tuttavia la situazione è diversa: non sappiamo quale biglia abbia trovato il bimbo. Sappiamo che in casa ci sono solo biglie rosse o nere, ma non quante ce ne sono di ciascun colore. Dobbiamo perciò assegnare probabilità 1/2 ai primi due rami che indicano le due possibilità della biglia aggiunta dal bimbo. La probabilità dei rami successivi ( nei quali le biglie sono diventate 8 ) dipenderà ovviamente dal colore della biglia aggiunta per ipotesi.

Abbiamo così: p(RR) = (1/2) × (3/8) = 3/16, se il bimbo ha aggiunto una biglia rossa, p(NR) = (1/2) × (2/8) = 1/8, se il bimbo ha aggiunto una biglia nera. Sommando le probabilità dei due eventi si ha p= 3/16 +1/8 = 5/16 che è leggermente maggiore di 2/7.

I tre esercizi precedenti ci fanno capire che il calcolo delle probabilità può presentare "trappole" logiche e che, prima di dare risposte, occorre valutare bene tutte le ipotesi ed i casi che ne derivano.
Facciamo un ulteriore esempio.

Esercizio 3.7 Un prestigiatore (altrimenti detto mago) ha fatto preparare tre carte prive di dorso, con il segno della carta riportato su entrambe le facce. La prima ha un asso di picche su entrambe. La seconda ha un asso di cuori su entrambe. La terza ha un asso di picche su una faccia ed un asso di cuori sulla faccia opposta.
Dopo aver nascosto le carte, il mago ne prende una e la depone sul tavolo. E' visibile una delle facce, supponiamo un asso di cuori. A questo punto il mago ci chiede di indovinare la faccia nascosta. Rifletto un po' sulla situazione: "Sto vedendo un asso di cuori. E' escluso quindi che si possa trattare dalla carte picche-picche. Restano sono solo due possibilità: la carta cuori-cuori o quella cuori-picche. Il gioco mi sembra equo, poiché ho una probabilità su due di indovinare". Scelgo "picche". Il mago mi propone allora di scommettere 50 euro. Se accetto la scommessa quale probabilità ho di vincere? Sembra di aver già risposto: è 1/2. Le cose non stanno però così (c'era da scommetterlo, se non ci fosse stata già un'altra scommessa in atto!).

Non dobbiamo dimenticare che le tre carte hanno ciascuna due dorsi. Si hanno quindi 6 diversi casi, come si vede nella figura a lato, in cui la riga in alto presenta i sei possibili casi della faccia in vista e la seconda riga le rispettive facce coperte. Dato che si vede una faccia di cuori, debbo eliminare i tre casi in cui compare quella di picche. Ne restano tre: due che hanno cuori anche sulla seconda faccia ed uno che ha picche. Purtroppo ho scommesso sull'evento "picche" che ha probabilità 1/3 di vincere, contro 2/3 di cui dispone il mago. Mai fidarsi dei maghi!