1.1 Probabilità di un evento (definizione classica) e primi esercizi

La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ciascuna volta. Pensiamo al papà in attesa davanti alla sala parto, prima che l'ecografia permettesse di conoscere in anticipo il sesso del nascituro o allo scommettitore che ascolta alla radio i risultati delle partite, mentre scorre quelli da lui pronosticati sulla schedina. In alcuni casi i vari eventi si presentano tutti con la stessa probabilità, nel senso intuitivo del termine. Pensiamo al lancio di una moneta, in cui non vi sono elementi per dare all'esito "testa" una maggiore o minore probabilità rispetto all'esito "croce". Altre volte, valutati i pro ed i contro, crediamo di poter assegnare a qualcuno di essi un grado di fiducia maggiore, come fa un pescatore prima di decidere dove lanciare la lenza. La matematica classica sembra sfuggire a tali situazioni d'indeterminatezza: due più due fa sempre quattro. Anche i giornalisti affermano che la vittoria del campionato da parte di una certa squadra è matematicamente certa, quando calcolano che la seconda in classifica non ha più possibilità di raggiungere la prima, nelle rimanenti partite del campionato. Non è stato facile, per gli stessi matematici, abbandonare le certezze dell'algebra e della geometria ed avventurarsi nel difficile campo dei fenomeni aleatori. Tuttavia la sempre crescente consapevolezza dell'importanza del caso nella maggior parte dei fenomeni oggetto di studio nelle più svariate discipline scientifiche (dinamica dei gas, fisica delle particelle, biologia, ecologia, medicina, meteorologia, economia, ecc.), ha indotto un numero sempre più grande di matematici, taluni di chiarissima fama, ad occuparsi della costruzione di modelli atti a dominare il regno dell'incertezza e della casualità.
Intendiamoci, non è che i matematici si siano messi a fare gli indovini, usando la calcolatrice al posto della sfera di cristallo. Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio e su come definire operazioni e proprietà che rendano coerenti i risultati ottenuti.
Non tutto è andato in maniera liscia, tanto che spesso non si è neppure trovato un accordo per definire una volta per tutte il termine probabilità e per fissare il modo di calcolarla. Storicamente una prima definizione, che si usa chiamare "classica" e che si trova tuttora nella maggior parte dei dizionari, è quella che definisce la probabilità di un evento aleatorio come rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i casi possibili, purché essi abbiano la stessa probabilità di verificarsi. Tale definizione non è esente da difetti, tra i quali ad esempio l'uso della parola probabilità all'interno della stessa definizione di probabilità, che rende quindi incerto il significato di tale termine. Essa, tuttavia, si attaglia abbastanza bene a quelle situazioni in cui i fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria: si pensi alle due facce di una moneta o alle sei facce di un dado, o all'estrazione di una carta da un mazzo o all'uscita di un numero alla roulette. Tutti i vari eventi, a meno di trucchi, hanno la stessa probabilità di verificarsi. Indicando con p la probabilità si ha pertanto:

• L'uscita di testa nel lancio di una moneta rappresenta uno dei due possibili esiti con p = 1/2,
• L'uscita di una certa faccia nel lancio di un dado ha un caso favorevole sui sei possibili e quindi p = 1/6,
• L'estrazione dell'asso di picche da un mazzo di carte da poker ha un caso favorevole su 32, con p = 1/32,
• L'uscita del rosso alla roulette ha 18 su 37 probabilità di verificarsi (nei Casinò con un solo zero), e quindi p = 18/37.

• Casuale, ciò che dipende dal caso, come la faccia di un dado, che in latino si dice alea, da cui l'altro aggettivo aleatorio, con cui sono definiti i fenomeni non deterministici (dei quali non si può predeterminare l'esito).
• Spazio campione, come insieme che contiene tutti i possibili modi in cui può manifestarsi un certo fenomeno casuale.
• Evento aleatorio, cioè un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato.
• Esito è ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posteriori.
• Probabilità di un evento aleatorio, come misura del grado di fiducia che si può stabilire a priori circa il verificarsi o meno dell'evento.

Esercizio 1.1 Si lancino contemporaneamente due monete. Qual è la probabilità che esca testa su entrambe? Occorre un po' di combinatoria ed un grafo ad albero. Partendo dal vertice in alto e percorrendo fino al termine i vari rami che traggono origine da esso, troviamo i quattro casi possibili, che costituiscono lo spazio campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei quattro, quindi p=1/4.

Erroneamente, nella famosa Encyclopédie di Diderot e D'Alambert, si sosteneva che l'analogo caso di due figli presentava tre possibilità, due maschi, due femmine o un maschio e una femmina, assegnando probabilità 1/3 a ciascuno dei casi..
I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità e della combinatoria. Quello appena visto è un grafo regolare, in cui ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun ramo ha lo stesso "peso" (inteso in questo caso come probabilità) degli altri.

Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha in mano quattro carte di cuori ed una di picche. Decide di scartare quest'ultima, pescando un'altra carta e tentare di fare "colore". Quale probabilità ha? Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che il giocatore ha in mano. Restano così 27 carte, fra le quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano). La probabilità è dunque 4/27. Qualche alunno potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte anche le 15 carte in mano agli altri 3 giocatori. Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte hanno in mano tali giocatori, dobbiamo considerare possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il banco prenderà la carta ne contiene solo 12.

Chi non fosse del tutto convinto di quest'ultima affermazione può verificarlo analiticamente nell'esercizio 3.5, immaginando un'urna con con 27 biglie da cui vengono tolte 15 biglie, senza vederne il colore.

Esercizio 1.3 Due ragazzi fanno alla conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la loro somma. Il primo ha scelto "Pari". Qual è la probabilità che si verifichi tal evento? Si è portati a credere che pari e dispari siano eventi ugualmente probabili ciascuno con probabilità 1/2. Se si analizza invece la situazione con una tabella a doppia entrata, si vede che l'evento "esce un numero pari" (caselle gialle) è leggermente avvantaggiato, poiché i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25 dell'evento opposto (caselle verdi).

Diversa è la situazione se si considera la possibilità di poter gettare anche lo zero (mano chiusa). In tal caso la situazione torna in perfetta parità con 18 casi su 36 per entrambi gli eventi.

Esercizio 1.4 Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che almeno uno di essi sia un 6? Costruiamo lo spazio campione, utilizzando una tabella a doppia entrata, con i 36 casi possibili. Abbiamo utilizzato dadi di due colori diversi per far vedere che l'uscita della coppia {1,2} è un evento distinto da quello della coppia {2,1} e così per le altre coppie. Si vede che ci sono 11 casi (evidenziati in blu) in cui esce il 6 su almeno uno dei dadi. La probabilità dell'evento è quindi p=11/36.

E' probabile che qualche alunno abbia risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando che in un dado la probabilità è 1/6 e quindi con due dadi tale probabilità si raddoppi. E' un errore abbastanza comune.
Più avanti si vedrà come calcolare razionalmente la probabilità del sei su ciascun dado e come ottenere quella dei due dadi.