Consigli per amare Matematica.
di
Mauro Cerasoli mauro.cerasoli@alice.it

La capacità di divulgare la matematica è più rara della scoperta di un nuovo teorema.
Sfortunatamente, nell'attuale cervellotica scala di valori,
i divulgatori non vengono ricompensati come meriterebbero.
Gian Carlo Rota

 1. Primi consigli
Insegnare ad amare la matematica è difficile, più facile è insegnare a non odiare, a ridurre il numero di coloro che dichiarano orgogliosi di essere negati per la matematica. Scriveva Marguerite Yourcenar nelle Memorie di Adriano: il nostro errore più grande è quello di cercare di destare in ciascuno proprio quelle virtù che non possiede, trascurando di coltivare quelle che ha. Prima di tutto l'insegnante di matematica, come dice Rota, deve appartenere alla classe dei maghi delle P.R., degli intrattenitori televisivi, dei propagandisti, dei predicatori, dei prestigiatori, dei guru. Si può aggiungere che bisogna essere un po' come Dario Fo a teatro: almeno una volta provate a sbagliare nel dire "ics al cubo". Oppure scrivete alla lavagna matenatica: tutta la classe scoppierà a ridere dimostrando che seguiva attentamente la lezione. E nell'intimo del loro cuore gli studenti penseranno: questo (o questa) è dei nostri! Poi, per convincere sempre più la classe del ruolo della matematica nella comprensione del corpo umano, spiegate come si trovano le probabilità di nascere, così o cosà, con la formula del famoso quadrato del binomio.
Uno dei teoremi più belli della genetica, dovuto al matematico Hardy ed al medico Weinberg, afferma che se in una popolazione gli accoppiamenti avvengono a caso, la frequenza di un dato carattere genetico diventa costante già alla seconda generazione. Tutto ciò, come dice il grande genetista Luca Cavalli Sforza, potrebbe aiutare ad allontanare dalle menti dei nostri giovani figli lo spettro del razzismo: Che si tratti di un anziano senatore o di un giovane fanatico, il razzista è un tipo difficile da convincere. Credo che gran parte dei pregiudizi vengano trasmessi dalla famiglia ed è per questo che la scuola può giocare un ruolo importante. Io farei studiare a tutti un po' di medicina e anche il calcolo della probabilità, per aiutare a comprendere l'importanza del caso (1995).

 2. Ite, missa est
La matematica appare spesso allo studente come una disciplina troppo seria, fredda, astrusa, in poche parole antipatica. Il suo insegnamento, è fatto talvolta di certi riti che sembrano ricordare quelli di una messa funebre. Per esempio, quando si recita tristemente:

dato e > 0 piccolo a piacerekirie eleison
determinare un naturale n tale cheora pro nobis
per ogni n > n risulti |an-l|<e amen
come volevasi dimostrareite missa est!

Ma, sinceramente, come può interessare a un cittadino italiano (lo studente in genere riveste questo ruolo giuridico) la definizione rigorosa di limite di una successione? A parte il fatto che poi, caso mai facesse una facoltà scientifica, avrà bisogno al più di limiti come quello di 1/n o di 1/Ön oppure di (1-1/n)n e di senx/x. Chiunque, classificato sano di mente dalla ULSS più vicina, si rende conto subito che se 0<x<1 allora xn tende a 0 quando n tende all'infinito. Perché, infatti, x sarà del tipo 1/M, con M>1, ed è ovvio che 1/Mn tende a 0! Non bisogna scomodare la teoria dei limiti, poi, per far capire ad una persona non necessariamente intelligente, che (1+1/n)n converge al valore approssimato 2,718, altro limite di cui si ha bisogno in pratica. Quasi tutti gli altri servono solo a complicare la vita degli studenti e a far odiare la matematica. Infatti lo studente ingenuo scambia la matematica con il calcolo dei limiti o delle espressioni a otto piani. Prima di fargli dimostrare che senx/x®1, quando x®0, converrebbe dirgli che quel limite, o meglio l'approssimazione senx»x per x» 0, ha a che far con Galileo, con i lampadari del duomo di Pisa e con il benessere degli svizzeri. Per non parlare degli orologi. Con il benessere degli elvetici, vista la massiccia presenza di banche sul loro territorio, ha a che fare anche la funzione e x, ma pochi si azzardano a dare il suo significato finanziario mentre quasi tutti pretendono una precisa e rigorosa dimostrazione dell'esistenza del limite di (1+x/n)n per n® ¥. Peccato però che lo studente sia più interessato a far soldi che a dimostrare teoremi!
Invece di far calcolare limiti, derivate ed integrali inutili, che oggi calcolano tranquillamente alcune graziose calcolatrici tascabili, per non parlare dei computer da tavolo, invece di far dimostrare teoremi intuitivamente ovvii, come quelli di Rolle e di Lagrange, o quello delle mediane di un triangolo, o inutili e noiosi, come il teorema delle tre perpendicolari, proviamo a trattare questioni che sembrano complicate e che, con un'idea luminosa, diventano tanto semplici e facili da risolvere, oltre che attraenti.

 3. Una formula famosa resa facile e simpatica
Prendiamo i numeri di Fibonacci, ad esempio, introdotti dal grande matematico pisano nell'anno di grazia 1202. In pratica, scrisse nel suo Liber abbaci che erano i numeri

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ecc.

cioè quei numeri Fn che si ottengono sommando gli ultimi due a partire da 1 e 1:

Fn=Fn-1+Fn-2 con le condizioni F0=F1= 1.

Domanda: quanto vale Fn dato un n generico? Come ben sappiamo, noi matematici non dormiamo la notte se non troviamo la formula! Ebbene sono dovuti passare quasi 700 anni prima che il francese Binet trovasse la formula seguente

Fn={ [(1+Ö5)/2]n+1- [(1-Ö5)/2]n+1}/Ö5

Ad essere sinceri bisogna dire che De Moivre era a conoscenza di questa formula intorno al 1718, comunque sempre cinque secoli dopo Fibonacci. Ma come si dimostra la formula? Gli addetti ai lavori sanno che si fa ricorso alle funzioni generatrici: uno strumento inventato da Laplace, non proprio facile da manipolare. Ed allora perché stiamo parlando di ciò se non possiamo riferirlo ai nostri studenti che amano così poco la matematica? Ma perché c'è una bella dimostrazione, facile facile, che possiamo fare in classe! Ed è questa. Per induzione si prova subito che se un numero x soddisfa l'equazione
x2=x+ 1

allora esso soddisfa anche l'equazione
xn+1=xFn+Fn-1.

Infatti dalla ricorrenza di Fibonacci si ha

xn+1
= x (Fn-1+ Fn-2) + Fn-1
= (x + 1)Fn-1+xFn-2
= x2Fn-1+ xFn-2

cioè

xn= xFn-1+Fn-2

che è vera per ipotesi di induzione. Ma l'equazione di secondo grado ha le due radici
u = (1+Ö5)/2 e v = (1-Ö 5)/2

quindi esse soddisfano le due identità
un+1=u Fn+ Fn-1
vn+1= vFn+ Fn-1.

Da qui, sottraendo membro a membro, si ricava facilmente la formula esplicita per Fn.

 4. Scacchi, biliardi, figurine e serie armonica
L'insegnamento della matematica dovrebbe essere basato su cose belle, piacevoli e allegre: come i giochi. Lo ripetiamo sempre, e non la smetteremo di farlo, ma i sordi sono tanti, a cominciare da quelli che redigono i programmi ministeriali. Diceva Leibniz che lo spirito umano si rivela più nei giochi che nelle materie serie « L'esprit humain paraissant mieux dans le jeux que dans les matières le plus sérieuses » (Les Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704). Per essere più chiari, un problema di scacchi, tipo il Bianco muove e matta in tre mosse, è molto più educativo e formativo, sotto tutti i punti di vista, di uno stupido e inutile calcolo che richiede l'applicazione del teorema di Pitagora o dello svolgimento di un altrettanto bovina espressione algebrica (come diceva Bunuel nel film Tristana) a otto piani di morbidezza. A proposito, perché non organizziamo un bel corso di scacchi a scuola? Un torneo di scacchi tra studenti in cui vince chi, diciamo entro un'ora, ne risolve di più su dieci problemi del tipo di quello sopra citato. E' consentito l'uso della scacchiera e la manipolazione dei pezzi. Non è vietato, ansi è consigliato, l'uso di FRITZ 5, uno dei più potenti programmi per giocare a scacchi con il computer (il prezzo è ridicolo se confrontato con le sue capacità). I ragazzi si divertirebbero da matti (sic!).
Ma se non si vuole giocare a scacchi si può sempre parlare della raccolta delle figurine dei giocatori. A proposito, quanti giorni ci vogliono per riempire l'album, che ha s tipi di figurine, se acquistiamo una figurina al giorno e non è consentito scambiare i doppioni con gli amici? In verità ci vorranno almeno s giorni, ma il numero esatto solo Dio lo sa. Potrebbe essere s+3 come s+100: è una variabile aleatoria! Sappiamo però che il numero medio di giorni è dato dalla meravigliosa formula

s(1+1/2+1/3+...+1/s).

Un risultato sorprendente! Abbiamo una interessante interpretazione della divergenza della serie armonica mediante la snervante attesa del poverino che non riesce a trovare la figurina del feroce Saladino! Due modi diversi di sentire l'infinito. La formula può essere verificata sperimentalmente per valori piccoli di s. Ad esempio, per s=6, si ottiene il valore 14,7 che è anche il numero medio di lanci di un dado necessari per vedere apparire tutte le sue facce. Provate a lanciare un dado fino a quando non escono tutte le facce. Ripetete l'esperimento n volte e segnate ogni volta il numero di lanci che sono stati necessari per vedere apparire tutte le facce. Per n molto grande la media aritmetica di questi numeri sarà vicina a 14,7.
Il risolvere problemi, ha scritto George Polya, un mago della divulgazione matematica, è un'arte pratica, come il nuotare, o lo sciare o il suonare il piano: potete impararlo solo con l'imitazione e la pratica. Cominciamo allora dai problemi pratici. Che cosa c'entra il biliardo con il problema seguente: ci sono due recipienti della capacità rispettiva di 7 e 11 litri e un grosso secchio pieno d'acqua. Come si fa a misurare esattamente due litri, usando solo i due recipienti senza marcarli? Basta considerare appunto un biliardo a forma di parallelogramma di dimensioni 11x7 inclinato a destra. Sulle basi mettiamo i numeri 0, 1, 2,...,11 mentre sui lati obliqui segniamo 0, 1, 2,...,7. Poi supponiamo di mettere una palla sul vertice in basso a sinistra (indicato con 0) e di tirarla verso destra in modo che arrivata al vertice 11 rimbalzi e finisca al punto 4 sulla base superiore. Rimbalza di nuovo tornando al punto 4 in basso e da qui al punto 4 sul lato obliquo di sinistra, poi va a finire al punto 4 del lato obliquo di destra e così via rimbalzando con le stesse regole, fino a quando colpisce un punto di ascissa 2. A questo punto il gioco finisce ed abbiamo la sequenza di travasi tra i due recipienti (sul libro di Gardner eventuali chiarimenti).

 5. Un misterioso numero preso dal Vangelo
Si legge nel Vangelo, Giovanni, XXI, 11, che «Simon Pietro montò nella barca e tirò a terra la rete piena di 153 grossi pesci». Perché 153 e non 150 o 155? Forse arcani misteri si nascondono dietro il 153? Quali? In verità questo numero ha qualcosa di magico. Intanto soddisfa alcune proprietà aritmetiche di fronte alle quali solo i minerali più grezzi restano indifferenti:

1+2+3+4+....+15+16+17 = 153
13+ 53+ 33= 153
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.

Ci sono soltanto altri tre numeri, oltre a 1 e 153, che sono uguali alla somma dei cubi delle loro cifre: 370, 371 e 407. Queste curiose proprietà appartengono a 153 dalla notte dei tempi e potrebbero dare della matematica quell'idea, sbagliata, che sia una disciplina che tratta cose vecchie quanto il mondo. E che dire allora di quest'altra meravigliosa proprietà del numero 153, scoperta dal matematico israeliano Phil Kohn nel 1961? Prendete un qualsiasi numero multiplo di tre, sommate i cubi delle sue cifre, poi sommate i cubi delle cifre del risultato ottenuto e così via. Riuscite ad indovinare cosa apparirà alla fine? Facciamo una prova col numero 162:

13+ 63+ 23= 225;23+ 23+ 53= 141;13+ 43+ 13=66;
63+ 63= 432; 43+ 33+ 23= 99;93+ 93= 1458;
13+ 43+ 53+ 83= 702; 73+ 23= 351 et voila 33+ 53+ 13= 153.

Ed ora, ripetendo l'algoritmo, avremo sempre il numero 153 di Simon Pietro (o dell'evangelista Giovanni). Il 1961 non è un anno tanto lontano; ci si lamenta spesso che la Storia insegnata nelle nostre scuole si ferma troppo presto e che non tratta gli avvenimenti della seconda metà di questo secolo. Almeno parla della prima guerra mondiale! E la Matematica? Di che secolo è l'argomento più giovane di matematica studiato dai nostri ragazzi? In certe scuole non ci si ferma che alla fine del '600?

 6. Cosa vuol dire oggi far di conto?
Attenti però ai problemi impossibili: neppure il migliore della classe saprà calcolare, nota la superficie, il raglio della sfera! Per allenarsi a risolvere problemi può provare a dimostrare (senza o con TI92 ?) che

1234567891

è un numero primo.
«Ma noi dobbiamo insegnare a far di conto - ribatte la giovane e bella maestrina di Cantù - è quello che ci ripete ogni giorno la Direttrice!» Purtroppo, nonostante le ultime inflazioni referendarie, nessuno ha proposto un referendum per abolire il Ministero della Pubblica Istruzione con relativi ispettori. Qualcuno, con un'idea per nulla originale, aveva proposto di abolire la Matematica dalle scuole, ma non ha avuto successo. Alla Signora Direttrice raccontate questa scenetta di vita vissuta, eventualmente ripresa da uno spot pubblicitario sull'uso di certe tecnologie intelligenti. Ad una delle casse della Coop di Bologna siede comodamente una bionda laureata in Matematica, che, per mancanza di cattedre, ha accettato questo primo lavoro. Sorridendo, prende i vari pacchetti, bottiglie, scatolette ecc. del cliente e li passa sul banco elettronico creando una soneria di bip, bip. Ad ogni bip bip, sul monitor appaiono dei segni fosforescenti chiamati cifre: lei neppure li guarda. Alla fine dell'operazione, sempre sorridendo e tendendo la mano, si rivolge al cliente che nel frattempo ha estratto una piccola tessera di plastica, a sezione aurea circa, chiamata Carta di Credito. La commessa gentilmente prende Carta di Credito e la fa passare attraverso la fessura di una macchinetta, lì a portata di mano. Avuto l'ok da mamma Banca, batte senza pensare probabilmente al loro significato, i segni apparsi sul monitor della cassa e porge al cliente una pulsantiera. Vergognosetta, con un altro bel sorriso, gli dice: "digiti il suo codice segreto", volgendosi con pudore dall'altra parte. Il cliente esegue l'operazione richiesta, si riprende la piccola Carta di Credito e il suo carrello, saluta e se ne va.
E il far di conto?
Non è meglio allora parlare in classe dell'infinito nascosto negli aculei di un cactus? A proposito, perché gli spini pungono? Risposta: dicesi pressione di una forza F su una superficie S il rapporto F/S. Fissata la forza, per esempio F = 1, quanto sarà grande la pressione se la superficie è molto piccola? In altri termini quanto fa 1 diviso un numero positivo molto piccolo? Un numero molto grande! E se l'area è praticamente nulla come quella della punta di uno spino? Un dolore infinito acutissimo! Come quello che provano i nostri studenti quando, per diventare avvocati o medici devono imparare l'assiomatica dei numeri reali, gli intorni, destri e sinistri, i famigerati punti di accumulazione (hanno già i loro problemi con i punti neri, o punti di accumulazione di grasso),e e d, la dimostrazione del teorema di Rolle e tutte le altre diavolerie che servono solo a complicare la vita e a far odiare la matematica. Infatti, diceva Kronecker: Iddio ha creato i numeri naturali (= le cose semplici), il resto ( = le cose complicate) è opera dell'uomo!
Bibliografia

Keith Devlin, Dove va la matematica, Bollati Boringhieri, '94, pp.318
Godfrey H. Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, '89, pp.111
Paul Hoffman, La vendetta di Archimede, Bompiani, '90, pp.269
Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Sansoni,vol.5, '76, pp.296
Gian Carlo Rota, Pensieri discreti, Garzanti, '93, pp.197